Soal UN Matematika dan Pembahasannya

1.         Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah ...

A . 378 cm                                  D . 762 cm

B . 390 cm                                   E . 1.530 cm

C . 570 cm

PEMBAHASAN :

Deret geometri :

n = 7

U1 = a = 6

U7 = ar⁶          = 384                                              

6r⁶                 = 384

r⁶                   = 64

r                     = 2  

2.          Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah ...

A . 39 tahun                                               D . 54 tahun

B . 43 tahun                                               E . 78 tahun

C . 49 tahun

PEMBAHASAN :

Misalkan : Umur ayah          = x

Umur Budi                                 = y

Tujuh tahun yang lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi.

x - 7              = 6 (y - 7)

x - 7              = 6y - 42

x                    = 6y - 35         .................... (1)

Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9

2 (x + 4)      = 5 (y + 4) + 9

2x + 8           = 5y + 20 + 9

2x + 8           = 5y + 29

2x                  = 5y + 21                                    Masukkan persamaan (1)

2(6y - 35)    = 5y + 21

12y - 70       = 5y + 21

12y - 5y       = 70 + 21

7y                  = 91

y                    = 13

x                    = 6y - 35

x                    = 6 x 13 - 35

x                    = 78 – 35

x = 43

Jadi, umur ayah adalah 43 tahun.

3.    Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x- 4y-2 = 0 adalah …

A . x² + y² + 3x - 4y - 2 = 0

B . x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0

C . x² + y² + 2x + 8y - 8 = 0

D . x² + y² - 2x - 8y + 8 = 0

E . x² + y² + 2x + 8y - 16 = 0

PEMBAHASAN :

Persamaan lingkaran dengan pusat (1, 4)

(x - 1)² + (y - 4)²                       = r²

x² - 2x + 1 + y² - 8x + 16         = r²

x² + y² - 2x - 8x + 17 - r²         = 0    ................ (1)

Menyinggung garis 3x - 4y - 2 = 0

4y           = 3x - 2

y              = 3/4x – 1/2  ............... (2)

                  Masukkan (1) ke (2)

   x² + (3/4x – 1/2)² - 2x - 8 (3/4x – 1/2) + 17 - r² = 0

                x² + 9/16x² - 3/4x + 1/4 - 2x - 6x + 4 + 17 - r² = 0

 

25x² - 140x + 340 - 16r² = 0.

 Syarat menyinggung : D = b² - 4ac = 0

 (-140)² - 4 . 25 . (340 - 16r²)                 = 0

                19600 - 34000 + 1600r²                         = 0

 1600r²                                                         = 14400

 r²                                                  = 9

 Substitusikan ke persamaan lingkaran (1).

 x² + y² - 2x - 8y + 17 - 9         = 0

 x² + y² - 2x - 8y + 8                 = 0

4.         Nilai dari =   ...

  A . -2                                                            D . 2

  B . 0                                                              E . 4

  C . 1

PEMBAHASAN : 

5.    Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di bawah ini.

 

Agar luasnya maksimum, pajang kerangka (p) tersebut adalah ...

A . 16 m                                          D . 22 m

B . 18 m                                          E . 24 m

 C.  20 m

PEMBAHASAN :

Panjang kawat >> 3p + 4l   = 120

4l                                        = 120 - 3p

l                                          = 30 - p

Luas = 2 . p . l = 2p (30 - 3/4p) = 60p - 3/2p²

Untuk mencari luas maksimum, cari turunan dari luas.

L'                       = 0

60 - 3p            = 0

3p                     = 60

p                       = 20 m

SUMBER : http://tejoholic.blogspot.com/2012/03/soal-un-sma-matematika-dan.html